Logaritm

E matematik, ur fonksion logaritm a zo ur fonksion $f$ termenet war $\mathbb {R} _{+}^{*}$ gant talvoudoù e-barzh $\mathbb {R}$, kendalc'hus, nann digemm, hag o treuzfurmiñ ul liesad en ur sammad, da lâret eo o wiriañ :

Eztaoladenn grafikel eus al logaritm dekvedennel (gwer), al logaritm neperian (du) hag al logaritm binarel (glas)

$\forall a,b\in \mathbb {R} _{+}^{*},\ f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$

Ar perzh-se a rediñ e vefe null pep fonksion logarirm en 1. Lâret e vez ez eo al logaritm ur morfegezh eus $(\mathbb {R} _{+}^{*},\cdot )$ da $(\mathbb {R} ,+)$.

Ur fonksion logaritm a zo ur vijektadenn eus $\mathbb {R} _{+}^{*}$ war $\mathbb {R}$ ha diagenter 1 dre ar fonksion-se a zo anvet diaz al logaritm.

Ez resiprokel, ma z'eo $b$ un niver real pozitivel-strizh ha disheñvel eus 1, ez eus neuze ur fonksion logaritm nemetken gant an talvoud 1 e $b$. Anvet e vez ar fonksion-mañ al logaritm a ziaz b, skrivet $\log _{b}(x)$ Ar fonksionoù logaritm a zo evel-se resiprokennoù ar fonksionoù eksponantel.

Ar fonksionoù logaritm anavezetañ eo al logaritm naturel pe neperian a ziaz $e$, al logaritm degel (a ziaz 10, implijet-tre e fizik/kimiezh) hag al logaritm binarel (a ziaz 2, implijet e stlenneg, dreist-holl e teorienn ar gomplekeselezh). Al logaritmoù a zo bet ivez hollekaet evit an niveroù kompleksel (logaritm kompleksel) dre astenn analizerezh hag enbarzhet e teorienn ar strolladoù (logaritm diskret) dre analogiezh gant analizerezh.

Istor

E fin an XVI^vet kantved, diorroadur an astronomiezh, ar bageal hag ar jedadennoù bankel a lak ar vatematikourien da glask doareoù evit simplaat ar jedadennoù ha dreist-holl an heulliennoù aritmetikel ha geometrek. Ar vatematikourien Paul Wittich (1546-1586) ha Christophe Clavius, el levr De Astrolabio a sav ur kenskriverezh etre sammadenn ha produ daou niveroù bihanoc'h eget 1 oc'h implij an liammadennoù trigonometrek : $x\times y=\sin(a)\times \cos(b)={\frac {\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}}.$

Simon Stévin, merour hollek an arme hollandad, a sav taolennoù jedadenn intersest aozañ. Al labour-mañ a zo heulier gant Jost Bürgo a embann e 1620 el levr Aritmetische und geometrische Progress-tabulen, un daolenn kenskrivañ etre $n$ ha $1,0001^{n}$. Sammad ar golonenn gentañ a glot neuze gant liesad an eil golonenn.

E 1614, John Napier (pe Neper) a embann e seul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ne soñj ket emañ o krouiñ fonksionoù nevez, met taolennoù kenskrivañ nemetken (logos (aze) = daremenpred, arithmeticos = niver) etre div serienn talvoudoù gant ar perc'hentiezh a-heul : ul liesad en ur golonenn a golt gant ur sammad en un hini all. An taolennoù kenskrivañ-se a zo bet krouet evit simplaat ar jedadoù trigonometriezh a zeu a-well e jedadoù astronomiezh hag implijet un nebeud bloavezhioù goude gant Kepler. An notadur Log evel beradur logaritm a zeu a-well e 1616 gant un troadur saoz eus oberenn Neper. E 1619 ez eo embannet un oberenn ues Neper goude e varv : Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, lec'h ma zispleg penaos sevel un daolenn logaritm (gwellet Taolenn logaritm ).

Kendalc'het e vo e labour gant ar matematikour saoz Henry Briggs a embann e 1624 e daolennoù loagritm dekvedennel (Arithmética logarithmica) ha diskriv a ra implij an taolennoù vit jediñ ar sinus, adkavout ankloù tangiantennoù... Al logaritm dekvedennel a zo a-wechoù anvet logaritm Briggs en e enor. Ar memes bloaz, Johann Kepler a embann Chilias logarithmorum savet oc'h implijout un hentenn geometrek. Taolenn Briggs a ginnig al logaritm gant 14 sifr eus niveroù etre 1 ha 20 000 hag etre 90 000 ha 100 000. E labour a zo klokaet gant Ezechiel de Decker hag Adriaan Vlacqa embann e 1627 un daolenn logaritm klokaet.

E 1647, pa labour Grégoire de Saint-Vincent war karrezadur an hiperbolenn, lakaat a ra anat ur fonksion nevez hag a zo primitivenn ar fonksion $x\mapsto 1/x$ o vezañ nul e 1 met Huygens eo, a zizolo e 1661 ez eo ar fonksion-se ur fonksion logaritm ispisial : al logaritm natural.

Meizad ar fonksion, an darempred etre ar fonksion eksponantel hag ar fonksion logaritm a vo dizoloet diwezatoc'h goude labour Leibniz war meizad ar fonksion (1667).

Logaritm dekvedennel

Pennad pennañ : Logaritm dekvedennel

Al logaritm ar simplañ da implij er jedadennoù niverennel eo. Notennet eo log pe $\log _{10}$. Kavet e vez anezhañ e krouadurioù ar skeulioù logaritm, an daveeroù hanter-logaritmek pe daveeroù log-log, er reolenn jediñ, e jedadenn ar pH, e unanenn an desibel.

Resisaat a ra da peseurt galloud ez eo ret kreskaat 10 evit kavout an niver orin. Da skouer :

ma x=10, log(10) = 1 peogwir 10¹ = 10

ma x=100, log(100) = 2 peogwir 10² = 100

ma x=1000, log(1000) = 3 peogwir 10³ = 1000

ma x=0,01, log(0,01) = -2 peogwir 10^-2 = 0,01

Talvoud logaritm nivernennoù all eget galloudoù eus 10 a c'hooulenn un talvoud nesaet. Ar jedad eus $\log(2)$ da skouer a c'hell bezañ graet gant an dorn, o verzout ez eo $2^{10}\approx 1000$, neuze $10\log(2)\approx 3$ neuze $\log(2)\approx 0,3$.

Logaritm neperian

Pennad pennañ : logaritm neperian

Al logaritm neperian pe logaritm natural, a zo al logaritm gant an derevadur ar simplañ. Ar fed m'eo primitivenn $x\mapsto 1/x$ en deus roet dezhañ e dalvoudegezh. Notennet eo « Log » pe « ln ». Hogen, pa 'z eo bet ret klask diaz al logaritm-se, ar vatematikourien n'int ket kouezhet war un talvoud gwall simpl : diaz al logaritm neperian a zo un niver, na dekvedennel, na rasional, na algebrek : an niver trehontek e $\approx 2,718\ 281\ 828\ 459\ 045\ 235\ 360\cdots$ eo.

Perzhioù ar fonksionoù logaritm

Perzhioù algebrek ha savadur

Pennad pennañ : Identelezhioù logaritmek

Evit pep niver real $a$ pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, al logaritm a ziaz $a$ : $\log _{a}$ a zo ar fonksion kedalc'hus termenet war $\mathbb {R} _{+}^{*}$ o wiriañ :

Evit pep niver $x$ hag $y$ pozitivel strizh,

$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\,$

ha

$\log _{a}(a)=1\,$

Gant an dermenadenn-se ez eus tu kavout buhan an termenadennoù a-heul :

$\log _{a}(1)=0\,$

$\log _{a}(x/y)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\,$

$\log _{a}(x^{n})=n\log _{a}(x)\,$

$\log _{a}(a^{n})=n\,$ evit pep niver anterin natural $n$, hag evit pep niver anterin relativel $n$

$\log _{a}(a^{r})=r\,$ evit pep niver rasional $r$.

Evel pep niver real pozitivel strizh $x$ a c'hell bezañ kemmeret evel bevenn termoù ar furm $a^{r_{n}}$, lec'h ma 'z eo $(r_{n})$ un heulienn o konvergiñ war-zu un niver real $\ell$, determinet e vez $\log _{a}(x)$ evel bevenn $r_{n}$.

Pegementiñ

Daou fonksionoù logaritm a zo disheñvel hervez un digemm lieskemmentadek : evit pep niver real pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, $a$ ha $b$, bez ez eus un niver real $k$ gant

$\log _{b}=k\,\log _{a}$

An niver real $k$ o talvezout ${\frac {1}{\log _{a}(b)}}$

$\log _{b}$ a zo ar fonksion kendalc'hus a dreuzfurm ar produ e sammad hag a zo kevatal da 1 e $b$, met, evit pep niver real $k$ nann nul, ar fonksion $k\log _{a}$ a zo ivez ur fonksion kendalc'hus, nann digemm a dreuzfurm ur produ e sammad hag ar fonksion-se a zo kevaal da 1 e b ma ha nemet ma

$k={\frac {1}{\log _{a}(b)}}$.

An holl fonksionoù logaritm a c'hell neuze bezañ eztaolet gant sikour unan nemetken, unan a vez ouiet an derevenn dija : ar fonksion logaritm neperian. Evit pep niver real $a$ pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, hag evit pep niver real $x$ pozitivel strizh, kavet e vez :

$\log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

Derevenn

Ar fonksion $\log _{a}$ a zo derevapl war $\mathbb {R} _{+}^{*}$ gant an derevadur :

$\log _{a}'(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}$

Monotonel ha kreskus-strizh eo neuze pa vez $a$ brasoc'h eget 1, digreskus en degouezh kontrol.

Ur vijektadenn eo gant ur resiprokenn hag a zo ar fonksion $x\mapsto a^{x}$.

Kuriusted matematikel

Gant un error bihanoc'h eget 0,6 % ez eo :

$\log _{2}(x)\approx \log _{10}(x)+\ln(x)\,$.