Niver kentael

Krogit e-barzh !
Un danvez pennad eo ar pennad-mañ ha labour zo d'ober c'hoazh a-raok e beurechuiñ.
Gallout a rit skoazellañ Wikipedia dre glokaat anezhañ. 

Niver kentael a reer e matematikoù eus un niver anterin muiel en deus rik daou ranner diforc'h, anterin ha muiel – a zo neuze 1 hag eñ e-unan.
Gant an termenadur-se e lezer 1 er-maez pa n'en deus nemet ur ranner anterin muiel. War an tu gin e lavarer ez eo kenaozet an niveroù nann null, anezho liesad daou niver anterin naturel disheñvel diouzh 1. Da skouer ez eo kenaozet 6 = 2 × 3, evel 21 = 3 × 7 pe 7 × 3, met kentael eo 11 peogwir ez eo 1 hag 11 rannerioù nemeto 11. N'eo an niveroù 0 hag 1 na kentael, na kenaozet. Setu amañ da heul an 30 niver kentael kentañ :

Niver	Rannerioù
6	1 · 2 · 3 · 6
7	1 · 7
8	1 · 2 · 4 · 8
9	1 · 3 · 9
7 zo un niver kentaelpeogwir en deus rik daou ranner muiel.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 ha 113.

Hevelep listennoù a c'heller sevel gant hentennoù jediñ diseurt. Abaoe an Henamzer e ouezer ez eus un niver anfin a niveroù kentael. An niver-Mersenne kentael « 2^43 112 609-1 », a zo bet kavet e 2008, hag a zo tost da 13 milion a sifroù en e skrivad degel, a oa an niver kentael brasañ a anavezed betek ar 7 a viz Genver 2016, pa voe kavet 2^{70 207 281} – 1 ; 22 338 618 sifr zo ret evit e skrivañ.

Ur meizad diazez eo meizad an niver kentael en aritmetik elfennel : kadarnaat a ra teorem diazez an aritmetik e c'heller faktorañ pep niver kenaozet en ul liesad faktorioù kentael, ha n'eus nemet ur faktoradur a seurt-se hepken pa lakaer urzh ar faktorioù a-gostez. Hollekadurioù anezhañ a gaver e skourroù araokaetoc'h eus ar matematik, evel teorienn aljebrek an niveroù.
Meur a implij greantel eus an aritmetik zo diazezet war anaoudegezh algoritmel an niveroù kentael, hag a-wezhioù war an diaes m'eo diskoulmañ ar c'hudennoù stag outo pergen : lod reizhiadoù sifrañ ha hentennoù treuzkas stlennadoù, da skouer. Implijet e vez ivez an niveroù kentael evit sevel taolennoù hachañ hag evit ober ganerioù niveroù brizhankivil.

Istor

Diaes-kenañ eo kavout ur formulenn evit kavout an holl niveroù kentael. Abred-tre en Istor Mab-Den ez eus bet klasket ober, hogen hini ebet eus ar formulennoù-se ne yae en-dro dre ma 'z eo dizingal an hed etre an niveroù kentael. Bez' ez eus bet kavet formulennoù, hogen faos e oa al lodenn vrasañ anezho, ar re vrudetañ o vezañ niveroù Mersenne ha Fermat. Hiziv an deiz n'eus formulenn ebet a ro un niver kentael dre ar jediñ. Ret eo tremen dre algoritmoù, evel ma oa bet graet gant Eratosthenes.

Enklaskoù

Eratosthenes : an niveroù kentael bihanoc'h eget 120

An algoritmoù kentañ evit divizout hag-eñ ez eo kentael an niver a bleder gantañ (a vez graet testoù kentaelded anezho) a zo klask e rannañ dre an holl niveroù bihanoc'h eget e wrizienn garrez : kenaozet eo mard eo rannadus dre unan anezho, kentael eo a-hend-all. Met gallout a reer efedusaat an algoritm-se : un toullad mat a rannadennoù a c'heller ober hepto ; mar n'eo ket rannadus an niver dre 2 da skouer n'eus ket ezhomm arnodiñ hag-eñ ez eo rannadus dre 4. Evit gwir ez eo trawalc'h arnodiñ e rannaduster dre an holl niveroù kentael bihanoc'h eget e wrizienn garrez.

Krouer Eratosthenes zo un hentenn diazezet war ar bennreolenn-se hag a ro listenn an niveroù kentael bihanoc'h eget ur talvoud roet n (n = 120 er fiñvskeudenn amañ e-kichen) :

• sevel a reer listenn an niveroù anterin naturel eus 2 da n ;
• derc'hel a reer e-giz « niver kentael » an niver kentañ n'eo ket barrennet el listenn (2 eo an hini kentañ en degouezh-mañ) ;
• barrennañ a reer an holl niveroù anterin a zo lieskementoù eus an niver dalc'het er bazenn gent, o kregiñ gant e garrez (barrennet eo bet 2*i, 3*i, ...(i-1)*i c'hoazh peogwir ez int lieskementoù eus de 2, 3, ...) ;
• seveniñ a reer an div oberiadenn ziwezhañ, da lavaret eo : delc'her an niver nann barrennet da zont ha barrennañ e lieskementoù ;
• kerkent ha m'eo brasoc'h karrez an niver dalc'het eget n e chomer a-sav gant an algoritm ; an niveroù a chom nann barrennet er fin eo neuze an niveroù kentael bihanoc'h eget n.

Niveroù kentael dibar

Marin Mersenne

Niveroù-Mersenne kentael

An niveroù notet M_p = 2^p - 1, p e-unan o vezañ un niver kentael, a vez graet « niveroù-Mersenne kentael » anezho, diwar anv ur matematikour gall eus ar XVII^vet kantved, Marin Mersenne (1588-1648). Alies e vez klasket an niveroù kentael bras er stumm-se rak bez' ez eus un test efedus, test kentaelded Lucas-Lehmer, evit gouzout hag-eñ ez eo kentael pe get an niveroù a-seurt-se.

Setu amañ niveroù-Mersenne kentael kentañ :

• 3 = 2² - 1
• 7 = 2³ - 1
• 31 = 2⁵ - 1
• 127 = 2⁷ - 1

Padal 2047 = 2¹¹ - 1 n'eo ket kentael, rak 2047 = 23 × 89. Un niver-Mersenne eo hogen n'eo ket kentael.

Mersenne n'en deus ket ijinet an niveroù-se, n'en deus ket ijinet ar formulenn. Savet en deus ul listenn eus an niveroù kentael-se dre ar formulenn, hogen faziet eo bet : da skouer, M⁶⁷ = 2⁶⁷ -1 hag M²⁵⁷ = 2²⁵⁷ -1 n'int ket kentael, padal n'emañ ket M⁶¹, M⁸⁹ hag M¹⁰⁷, a zo kentael, en e listenn.

E 2010 ez eo M_43 112 609 = 2^43 112 609-1 an niver-Mersenne kentael brasañ a anavezer, gant 12 978 189 sifr en e skrivad degel. Bez' e oa ar 45vet niver-Mersenne kentael bet dizoloet, hag embannet e oa bet an dizoloadenn anezhañ d'an 23 a viz Eost 2008 a drugarez da strivoù raktres kenlabourus ar jediñ dasparzhet « Great Internet Mersenne Prime Search » (GIMPS). Bihanoc'h eget ar 45vet eo ar 46vet niver-Mersenne kentael, 2^37 156 667-1, a voe dizoloet pemzektez goude ; d'an 12 a viz Ebrel 2009 e voe dizoloet gant ar memes raktres GIMPS, ar 47vet niver-Mersenne kentael, 2^{42 643 801}-1, hag a zo eñ ivez un "tammig" bihanoc'h eget an hini meneget da gentañ.

Pierre de Fermat

Niveroù-Fermat

Niveroù-Fermat, diouzh anv ar matematikour gall Pierre de Fermat (c. 1607-1665), a vez graet eus an niveroù anterin naturel a c'heller skrivañ er stumm 2²ⁿ + 1. Notet e vezont F_n. Setu amañ ar re gentañ anezho :

• F₀ = 2²⁰ + 1 = 2¹ + 1 = 3
• F₁ = 2²¹ + 1 = 2² + 1 = 5
• F₂ = 2²² + 1 = 2⁴ + 1 = 17
• F₃ = 2²³ + 1 = 2⁸ + 1 = 257
• F₄ = 2²⁴ + 1 = 2¹⁶ + 1 = 65 537

Pierre de Fermat en devoa savet ur martezead o lavarout e oa kentael an holl niveroù er stumm 2²ⁿ + 1 . Hogen buantre e voe prouet gant ur skouer enep e oa faos ar martezead rak n'eo ket kentael F₅, hag ouzhpenn-se n'eus niver-Fermat ebet etre F₅ hag F₃₂ a gement a vije kentael. F₀, F₁, F₂, F₃ hag F₄ eo neuze an niveroù-Fermat kentael nemeto a anavezer rak n'ouezer ket hag-eñ eo kentael an niveroù-Fermat adalek F₃₃.

Hiziv an deiz n'anavezer nemet pemp niver-Fermat hag a zo kentael : ar pemp kentañ meneget a-raok. F₃₃ eo an niver-Fermat bihanañ ha n'ouezer ket ha kentael eo pe get.

Gant ar matematikour suis Euler (1707-1783) e oa bet prouet e 1732 ne oa ket ket gwir martezea Fermat : F₅ = 2²⁵ + 1 = 2³² + 1 = 4 294 967 297, un niver ha n'eo ket kentael peogwir ez eo rannadus dre 641 : 4 294 967 297 ÷ 641 = 6 700 417.

Niveroù kentael gevell

An niveroù kentael gevell zo koubladoù niveroù kentael gant un diforc'h a 2 etrezo, eleze an diforc'h bihanañ a c'heller kaout etre daou niver kentael hep kontañ ar c'houblad (2 ; 3).
Kement-se a c'heller skrivañ evel-henn :

bezet an daou niver n ha p, gant n > p ; niveroù gevell int mar hag hepken mar bez ar gevatalenn n = p + 2.

Setu amañ ar c'houbladoù niveroù kentael gevell bihanañ : (3 ; 5) , (5 ; 7) hag (11 ; 13). Bez' ez eus un niver anfin a niveroù kentael gevell hogen ne vezont ket dasparzhet ez-reoliek.
Perzhioù dibar zo gant an niveroù gevell, da skouer :

• ar c'houblad (2 ; 3) eo ar c'houblad nemetañ gant daou niver gevell diouzh renk – merkit n'eo ket 3 kevatal da 2 + 2 ;
• pa lezer ar c'houblad (2 ; 3) a-gostez ez eo 2 an diforc'h bihanañ etre daou niver kentael ; daou niver kentael gevell a zo daou niver ampar kenheuliek eta ;
• pep koublad niveroù kentael gevell (p ; n) hep kontañ an daou goublad bihanañ (2 ; 3) ha (3 ; 5) a c'hell bezañ skrivet dindan ar stumm (6n - 1 ; 6n + 1), n o vezañ un niver anterin bennak. Rak e-barzh pep heuliad tri niver ez eus ul lieskement eus 2 d'an nebeutañ, hag ul lieskement eus 3 hepken ; kendeuzet eo an daou lieskement-se etre an daou niver kentael gevell ;
• setu ar c'houblad niveroù kentael gevell brasañ a anavezer : 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1. Gant 100 355 sifr e vez skrivet o skrivad degel, ha dizoloet e voent gant Peter Kaiser ha Keith Klahn eus Twin Prime Search e miz Eost 2009 ;
• Martezeadet ez eus bet ez eus un niver anfin a niveroù kentael gevell met biskoazh n'eo bet prouet.